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🟨最長的共同子序列

本題取自 Leetcode 1143. Longest Common Subsequence

題目

Given two strings text1 and text2, return the length of their longest common subsequence. If there is no common subsequence, return 0.

A subsequence of a string is a new string generated from the original string with some characters (can be none) deleted without changing the relative order of the remaining characters.

For example, "ace" is a subsequence of "abcde".

A common subsequence of two strings is a subsequence that is common to both strings.

Example 1:

Input: text1 = "abcde", text2 = "ace" 
Output: 3  
Explanation: The longest common subsequence is "ace" and its length is 3.


Example 2:

Input: text1 = "abc", text2 = "abc"
Output: 3
Explanation: The longest common subsequence is "abc" and its length is 3.


Example 3:

Input: text1 = "abc", text2 = "def"
Output: 0
Explanation: There is no such common subsequence, so the result is 0.
 

Constraints:

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 and text2 consist of only lowercase English characters.

分析

和day9遇到過的子字串定義不太相同，子序列可以由給定字串(或者陣列)當中取出任意的片段並重新串接，但順序要維持不變。例如'abcd'的子序列包含'abd'，但不包含'ca'(因為字母順序和原字串不同)。

兩個字串擁有共同子序列，意即某個子序列sub同時屬於字串t1、t2的子序列。

那麼要如何找出題目所要求的「最長的共同子序列」長度呢？

暴力破解(brute force)顯然是不現實的，因為每一個字母都可以取或者不取，光是暴力枚舉(enumerate)出所有的子序列就需要O(2^n)的指數時間，顯然必須尋找不同的途徑。

我們以一個簡單的例子來思考：求字串'abc'與acb的最長共同子序列長度。

答案顯然為2，ab或者ac都為其所代表的解。儘管這兩個字串一共含有a b c三個共同的字母，但答案為何不是3呢？

原因就在於，子序列的排列順序必須與原本的字串相同。無法同時使用a b c三個字母，卻同時滿足和兩個字串相同的排列順序。

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分治法

由前述討論可知，尋找LCS的過程，需要匹配相同的字母，且保證在兩個字串當中的順序相同

本題用到一個貪心(Greedy Stratagy)的思維：

若兩個字串text1、text2的字首相同 text1[0] == text2[0]，則這個字首必定包含在text1、text2的*最長共同子序列(LCS)*當中。

  • 由於我們只比較了字首，因此對於這個局部(首字母)而言，在兩個字串中順序必定是相同的(都在兩個字串的最左邊)
  • 由於獲得了匹配，若不將首字母計入LCS，所得的答案有可能不是最長的共同子序列。

繼續以前述的測資為例，'abc'與'acb'的LCS必定包含'a'，且其位置必為字首。

若兩個字串text1、text2的字首不 text1[0] != text2[0]，則這兩個字首的至少其一必定不包含在text1、text2的*最長共同子序列(LCS)*當中。

  • 因為子序列的字母順序不可擅自調換，兩個相異首字母分別固定在各自子序列的字首，則必定不為共同子序列

分析至此，我們便找到了如何逐步匹配的策略。

設計狀態、找出轉移式與最小問題

狀態：以LCS(i,j)來代表text1[i:]、text2[j:]之間的最長共同子序列的長度。

狀態轉移式：

若 text1[i] == text2[j](字首相同)：

LCS(i,j) = 1 + LCS(i+1,j+1)

若 text1[i] != text2[j](字首不同)：

LCS(i,j) = max( LCS(i+1,j), LCS(i,j+1) )

邊界條件(最小子問題)：i < len(text1)，j < len(text2)

母問題(題目所求)：LCS(0,0)

實作

Top-Down DP

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        @cache
        def LCS(i,j):
            if i==len(text1) or j==len(text2):
                return 0
            if text1[i] == text2[j]:
                return 1 + LCS(i+1, j+1)
            return max(LCS(i+1, j), LCS(i,j+1))

        return LCS(0,0)

Bottom-Up DP

為了處理index overflow的問題並且不增加額外的邏輯判斷程式碼，最上一列與最左一行(i==o 或者 j==0)都加入一個額外的0。

配合計算順序，dp[i][j]改成代表text1[:i]和text2{:j}之間的LCS(改成比較字尾而非字首)。

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        dp = [[0]*(len(text2)+1)]
        for i in range(len(text1)):
            row = [0]
            for j in range(len(text2)):
                if text1[i] == text2[j]:
                    row.append(1+dp[i][j])
                else:
                    row.append(max(row[j], dp[i][j+1]))
            
            dp.append(row)
        return dp[-1][-1]

也可以使用Rolling或者Inplace的技巧來優化，降低一維空間複雜度。

下例為inplace DP的示範：

由於inplace DP會覆寫掉上一列的資料，但轉移式會使用到LCS(i-1, j-1)以及LCS(i-1,j)，需要額外保留左上角一格的資料prev以及上面一格的cur

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        dp = [0]*(len(text2)+1)
        for i in range(len(text1)):
            prev = 0
            for j in range(len(text2)):
                cur = dp[j+1] 
                if text1[i] == text2[j]:
                    dp[j+1] = 1+prev
                else:
                    dp[j+1] = max(dp[j:j+2])
                prev = cur
        return dp[-1]

複雜度分析

時間複雜度

時間複雜度 = 狀態轉移數 x 計算複雜度

本題的狀態數 = O(n1 x n2)，n1 = len(text1)，n2 = len(text2)

計算複雜度為O(1)

因此總時間複雜度 = O(n1 x n2)

空間複雜度

空間複雜度 ＝ 狀態數 ＝ O(n1 x n2))

若採用Rolling(或者Inplace) Bottom Up DP的技巧，則降低一個維度，空間複雜度 ＝ O(n2)

進一步優化：資料前處理

以上的實作，時間複雜度上並沒有什麼問題，但若想要更進一步優化，可以想想看以下這組測資：

text1與text2很長，且彼此之間完全沒有任何一個共同的字母。(簡單舉例如aaa...aaa和bbb...bbb)

答案顯然為0，然而我們還是得花n1 x n2的時間遍歷比對text1與text2當中任意的字母組合。

有沒有方法事先排除掉這些不共同的字母，來優化整體的時間花費呢？

實作範例如下：

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        common = set(text1) & set(text2)
        t1 = [c for c in text1 if c in common]
        t2 = [c for c in text2 if c in common]
        @cache
        def LCS(i,j):
            if i==len(t1) or j==len(t2):
                return 0
            if t1[i] == t2[j]:
                return 1 + LCS(i+1, j+1)
            return max(LCS(i+1, j), LCS(i,j+1))

        return LCS(0,0)

動態規劃的部分和原本相同，只是在執行LCS演算法之前，先對原始字串做一點處理：

  • 取出text1與text2共通的所有字母作為common(使用了Python的Set資料容器以及交集語法)
  • 將text1與text2內不屬於common的字母剔除。

所獲得的新字串，再執行LCS演算法。

如此一來的成效如何呢？

時間複雜度

  • 建立Set需要花費O(n1+n2)

  • 交集運算(union operation '&')在worst case會花費O(x+y)，其中xy分別為兩集合的大小

  • LCS演算法需要花費O(m1 x m2)，其中m1、m2分別為經處理過後的字串長度。

由於時間瓶頸仍是在LCS的部分，當text1與text2當中不共通的字母越多，就能節省越多時間。

整體而言，雖然並沒有降低時間複雜度的數量級，但平均時間可獲得顯著的下降。

空間複雜度

  • 建立Set需要額外花費O(n1+n2)空間

  • 交集運算(union operation '&')不花費額外的空間

  • LCS演算法需要花費O(m1 x m2)，其中m1、m2分別為經處理過後的字串長度。

  • 若使用Rolling Bottom Up DP，則LCS可以降低一個維度至O(m)，m為min(m1,m2)

整體而言，由於m1、m2相對n1、n2亦獲得了縮減，空間複雜度並沒有數量級上顯著的增加。

(當然，建立Hashmap的空間常數必然比儲存整數的matrix大上許多)

下圖為筆者用Top-Down、Bottom-Up兩種策略，分別優化與不優化，在Leetcode上面跑出來的結果。

alt text

可以觀察到由於本例的遞迴層數很深，Top-Down的空間常數都相當大，Bottom-Up則在節省空間的同時也維持更快的運算速度。若同時使用Rolling和資料前處理的技巧來節省時間與空間，其效果也相當的顯著。

結語

LCS的解題概念並不複雜，其中融入了一點Greedy的思維，讓我們不必浪費O(2^n)比較所有的子序列，是我當初刷到時很喜歡的一個題型。

除了LCS本身的算法邏輯，在本題也看到透過資料前處理來進一步優化計算時間的範例。這提醒了我們：有時候除了改變算法來影響複雜度的優化，不去算不必算的東西，也是一種優化方式。這無論是刷題時，或者真正實作專案時都值得借鏡。

以上為Day11的內容！感謝你的閱讀，如果有不同的想法或心得，歡迎留言一同討論！

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明天會繼續看字串類型的例題。